- Analoge eller digitale filtre
- Aktive eller passive filtre
- Filtre basert på lyd- eller radiofrekvens
- Filtre basert på frekvensvalg
- Første ordens lavpass Butterworth-filter
- Andreordens Butterworth lavpassfilter
- Andreordens Low Pass Butterworth Filter Derivation -Aliter
Elektriske filtre har mange applikasjoner og brukes mye i mange signalbehandlingskretser. Den brukes til å velge eller eliminere signaler fra valgt frekvens i et komplett spekter av en gitt inngang. Så filteret brukes til å la signaler fra valgt frekvens passere gjennom det eller eliminere signaler fra valgt frekvens som passerer gjennom det.
For tiden er det mange typer filtre tilgjengelig, og de er differensiert på mange måter. Og vi har dekket mange filtre i tidligere opplæringsprogrammer, men mest populære differensiering er basert på,
- Analog eller digital
- Aktiv eller passiv
- Audio eller radiofrekvens
- Frekvensvalg
Analoge eller digitale filtre
Vi vet at signaler generert av miljøet er analoge, mens signalene som behandles i digitale kretser er digitale. Vi må bruke tilsvarende filtre for analoge og digitale signaler for å oppnå ønsket resultat. Så vi må bruke analoge filtre mens vi behandler analoge signaler og bruke digitale filtre mens vi behandler digitale signaler.
Aktive eller passive filtre
Filtrene er også delt opp basert på komponentene som ble brukt under utformingen av filtrene. Hvis utformingen av filteret er helt basert på passive komponenter (som motstand, kondensator og induktor), kalles filteret passivt filter. På den annen side, hvis vi bruker en aktiv komponent (op-amp, spenningskilde, strømkilde) mens vi designer en krets, kalles filteret et aktivt filter.
Mer populært skjønt et aktivt filter foretrekkes fremfor passivt ettersom de har mange fordeler. Noen av disse fordelene er nevnt nedenfor:
- Ingen belastningsproblemer: Vi vet at i en aktiv krets bruker vi en op-amp som har veldig høy inngangsimpedans og lav utgangsimpedans. I så fall når vi kobler et aktivt filter til en krets, vil strømmen som trekkes av op-amp være veldig ubetydelig, siden den har veldig høy inngangsimpedans og dermed ikke opplever kretsløp når filteret er tilkoblet.
- Få justeringsfleksibilitet: I passive filtre er forsterkning eller signalforsterkning ikke mulig, da det ikke vil være spesifikke komponenter for å utføre en slik oppgave. På den annen side i et aktivt filter har vi op-amp som kan gi høy forsterkning eller signalforsterkning til inngangssignalene.
- Frekvensjusteringsfleksibilitet: Aktive filtre har høyere fleksibilitet når de justerer avskjæringsfrekvensen sammenlignet med passive filtre.
Filtre basert på lyd- eller radiofrekvens
Komponentene som brukes i utformingen av filteret endres, avhengig av filterets anvendelse eller hvor oppsettet brukes. For eksempel brukes RC-filtre for lyd- eller lavfrekvente applikasjoner, mens LC-filtre brukes for radio- eller høyfrekvensapplikasjoner.
Filtre basert på frekvensvalg
Filtrene deles også ut fra signalene som passerer gjennom filteret
Lavpassfilter:
Alle signaler over valgte frekvenser blir dempet. De er av to typer - aktivt lavpassfilter og passivt lavpassfilter. Frekvensresponsen til lavpassfilteret er vist nedenfor. Her er den stiplede grafen den ideelle lavpassfiltergrafen, og en ren graf er den faktiske responsen til en praktisk krets. Dette skjedde fordi et lineært nettverk ikke kan produsere et diskontinuerlig signal. Som vist i figur etter at signalene når avskjæringsfrekvensen fH, opplever de dempning, og etter en viss høyere frekvens blir signalene gitt ved inngangen helt blokkert.
Høypassfilter:
Alle signaler over valgte frekvenser vises ved utgangen, og et signal under frekvensen blir blokkert. De er av to typer - Active High Pass Filter og Passive High Pass Filter. Frekvensresponsen til et høypassfilter er vist nedenfor. Her er en stiplet graf den ideelle høypassfiltergrafen, og en ren graf er den faktiske responsen til en praktisk krets. Dette skjedde fordi et lineært nettverk ikke kan produsere et diskontinuerlig signal. Som vist i figuren til signalene har en frekvens som er høyere enn kuttfrekvensen fL, opplever de demping.
Båndpassfilter:
I dette filteret er det bare signaler fra det valgte frekvensområdet som kan vises på utgangen, mens signaler fra en hvilken som helst annen frekvens blir blokkert. Båndpassfilterets frekvensrespons er vist nedenfor. Her er den stiplede grafen den ideelle båndpassfiltergrafen, og en ren graf er den faktiske responsen til en praktisk krets. Som vist på figuren får signalene på frekvensområdet fra fL til fH passere gjennom filteret mens signaler fra annen frekvens opplever demping. Lær mer om Band Pass Filter her.
Band avvis filter:
Band avvis filterfunksjon er det stikk motsatte av båndpassfilteret. Alle frekvenssignaler med frekvensverdi i det valgte båndområdet gitt ved inngangen blir blokkert av filteret mens signaler fra en hvilken som helst annen frekvens får lov til å vises ved utgangen.
Alle passfilter:
Signaler av hvilken som helst frekvens får passere gjennom dette filteret, bortsett fra at de opplever et faseskift.
Basert på applikasjon og kostnad, kan designeren velge riktig filter fra forskjellige typer.
Men her kan du se på utgangsgrafene at de ønskede og faktiske resultatene ikke er helt like. Selv om denne feilen er tillatt i mange applikasjoner, trenger vi noen ganger et mer nøyaktig filter, hvis utgangsgraf viser mer mot det ideelle filteret. Dette nesten ideelle svaret kan oppnås ved å bruke spesielle designteknikker, presisjonskomponenter og høyhastighets op-forsterkere.
Butterworth, Caur og Chebyshev er noen av de mest brukte filtrene som kan gi en nesten ideell responskurve. I dem vil vi diskutere Butterworth-filteret her, da det er det mest populære av de tre.
Hovedtrekkene i Butterworth-filteret er:
- Det er et RC (motstand, kondensator) og Op-amp (operasjonsforsterker) basert filter
- Det er et aktivt filter, slik at forsterkningen kan justeres ved behov
- Hovedkarakteristikken til Butterworth er at den har et flatt passbånd og et flatt stoppbånd. Dette er grunnen til at det vanligvis kalles "flat-flat filter".
La oss nå diskutere kretsmodellen til Low Pass Butterworth Filter for en bedre forståelse.
Første ordens lavpass Butterworth-filter
Figuren viser kretsmodellen for det første ordens lavpass-smørverdifilter.
I kretsen har vi:
- Spenning 'Vin' som et inngangsspenningssignal som er analogt.
- Spenning 'Vo' er utgangsspenningen til operasjonsforsterkeren.
- Motstandene 'RF' og 'R1' er de negative tilbakemeldingsmotstandene til operasjonsforsterkeren.
- Det er et enkelt RC-nettverk (merket med den røde firkanten) til stede i kretsen, og derfor er filteret et førsteordens lavpasfilter
- 'RL' er lastmotstanden som er koblet til op-amp utgangen.
Hvis vi bruker spenningsdelerregelen ved punkt 'V1', kan vi få spenningen over kondensatoren som, V 1 = V i her -jXc = 1 / 2ᴫfc
Etter erstatning av denne ligningen vil vi ha noe sånt som nedenfor
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
Nå er op-amp her brukt i negativ tilbakemeldingskonfigurasjon, og i et slikt tilfelle er utgangsspenningsligningen gitt som, V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
Dette er en standard formel, og du kan se på op-amp kretser for mer informasjon.
Hvis vi sender inn V1-ligning i Vo, vil vi ha, V0 = (1 + R F / R 1)
Etter å ha skrevet om denne ligningen kan vi ha, V 0 / V in = A F / (1 + j (f / f L))
I denne ligningen,
- V 0 / V in = forsterkning av filteret som en funksjon av frekvens
- AF = (1 + R F / R 1) = passbåndsforsterkning av filteret
- f = frekvens av inngangssignalet
- f L = 1 / 2ᴫRC = filterets avskjæringsfrekvens. Vi kan bruke denne ligningen til å velge passende motstands- og kondensatorverdier for å velge avskjæringsfrekvens for kretsen.
Hvis vi konverterer ligningen ovenfor til en polær form, vil vi ha,
Vi kan bruke denne ligningen til å observere endringen i forsterkningsstørrelse med endringen i frekvensen til inngangssignalet.
Sak1: f <
Så når inngangsfrekvensen er veldig mindre enn filteravskjæringsfrekvensen, er forsterkningsstørrelsen omtrent lik løkkeforsterkningen til op-amp.
Tilfelle 2: f = f L. Hvis inngangsfrekvensen er lik kuttfrekvensen til filteret,
Så når inngangsfrekvensen er lik filteravskjæringsfrekvensen, er forsterkningsstørrelsen 0,707 ganger loopforsterkningen til op-amp.
Case3: f> f L. Hvis inngangsfrekvensen er høyere enn filterets kuttfrekvens,
Som du kan se fra mønsteret, vil forsterkningen av filteret være den samme som forsterkningsforsterkningen til inngangssignalfrekvensen er mindre enn kuttfrekvensen. Men når inngangssignalfrekvensen når avskjæringsfrekvens, reduseres forsterkningen marginalt som sett i tilfelle to. Og når inngangssignalfrekvensen øker ytterligere, reduseres forsterkningen gradvis til den når null. Så lavpass-Butterworth-filteret tillater at inngangssignalet vises ved utgangen til frekvensen til inngangssignalet er lavere enn kuttfrekvensen.
Hvis vi har tegnet frekvensresponsgrafen for kretsen ovenfor, vil vi ha,
Som vist i grafen vil forsterkningen være lineær til frekvensen til inngangssignalet krysser avskjæringsfrekvensverdien, og når det først skjer, reduseres forsterkningen betydelig, så gjør utgangsspenningsverdien.
Andreordens Butterworth lavpassfilter
Figuren viser kretsmodellen til 2. ordens Butterworth lavpasfilter.
I kretsen har vi:
- Spenning 'Vin' som et inngangsspenningssignal som er analogt.
- Spenning 'Vo' er utgangsspenningen til operasjonsforsterkeren.
- Motstandene 'RF' og 'R1' er de negative tilbakemeldingsmotstandene til operasjonsforsterkeren.
- Det er et dobbelt RC-nettverk (merket med en rød firkant) til stede i kretsen, og derfor er filteret et andreordens lavpasfilter.
- 'RL' er lastmotstanden som er koblet til op-amp utgangen.
Second Order Low Pass Butterworth Filter Derivation
Andreordensfiltre er viktige fordi høyereordensfiltre er designet med dem. Forsterkningen av det andre-ordens filter blir innstilt av R1 og RF, mens grensefrekvensen f H er bestemt av R- 2, R- 3, C- 2 og C- 3 -verdier. Avledningen for avskjæringsfrekvensen er gitt som følger, f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C- 2 C- 3) 1/2
Spenningsforsterkningsligningen for denne kretsen kan også bli funnet på en lignende måte som før, og denne ligningen er gitt nedenfor,
I denne ligningen,
- V 0 / V in = forsterkning av filteret som en funksjon av frekvens
- A F = (1 + R F / R 1) passbåndsforsterkning av filteret
- f = frekvens av inngangssignalet
- f H = 1/2 R (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = filterets avskjæringsfrekvens. Vi kan bruke denne ligningen til å velge passende motstands- og kondensatorverdier for å velge avskjæringsfrekvens for kretsen. Også hvis vi velger samme motstand og kondensator i RC-nettverket, blir ligningen,
Vi kan spenningsforsterkningsligningen for å observere endringen i forsterkningsstørrelse med den tilsvarende endringen i frekvensen til inngangssignalet.
Sak1: f <
Så når inngangsfrekvensen er veldig mindre enn filteravskjæringsfrekvensen, er forsterkningsstørrelsen omtrent lik løkkeforsterkningen til op-amp.
Tilfelle 2: f = f H. Hvis inngangsfrekvensen er lik kuttfrekvensen til filteret,
Så når inngangsfrekvensen er lik filteravskjæringsfrekvensen, er forsterkningsstørrelsen 0,707 ganger loopforsterkningen til op-amp.
Case3: f> f H. Hvis inngangsfrekvensen er virkelig høyere enn filterets kuttfrekvens,
I likhet med førsteordensfilteret vil forsterkningen av filteret være den samme som forsterkningsforsterkningen opp til inngangssignalfrekvensen er mindre enn kuttfrekvensen. Men når inngangssignalfrekvensen når avskjæringsfrekvens, reduseres forsterkningen marginalt som sett i tilfelle to. Og når inngangssignalfrekvensen øker ytterligere, reduseres forsterkningen gradvis til den når null. Så lavpass-Butterworth-filteret tillater at inngangssignalet vises ved utgangen til frekvensen til inngangssignalet er lavere enn kuttfrekvensen.
Hvis vi tegner frekvensresponsgrafen for kretsen ovenfor, vil vi ha,
Nå lurer du kanskje på hvor er forskjellen mellom førsteordensfilter og andreordensfilter ? Svaret er i grafen. Hvis du observerer nøye, kan du se etter at inngangssignalfrekvensen krysser avskjæringsfrekvensen, får grafen en bratt nedgang, og dette høsten er tydeligere i andre rekkefølge sammenlignet med første ordre. Med denne bratte tilbøyeligheten vil andreordens Butterworth-filter være mer tilbøyelig til den ideelle filtergrafen sammenlignet med et enkeltordens Butterworth-filter.
Dette er det samme for tredje ordens Butterworth lavpassfilter, Forth Order Butterworth lavpassfilter og så videre. Jo høyere rekkefølgen filteret har, desto mer lener forsterkningsgrafen til en ideell filtergraf. Hvis vi tegner gevinstgrafikken for høyere ordens Butterworth-filtre, har vi noe sånt som dette,
I grafen representerer den grønne kurven den ideelle filterkurven, og du kan se når rekkefølgen på Butterworth-filteret øker gevinstgrafikken, lener seg mer mot den ideelle kurven. Så høyere rekkefølge av valgt Butterworth-filter, desto mer ideell blir forsterkningskurven. Når det er sagt, kan du ikke velge et filter med høyere ordre, ettersom nøyaktigheten til filteret avtar med en økning i rekkefølgen. Derfor er det best å velge rekkefølgen på et filter mens du holder øye med den nødvendige nøyaktigheten.
Andreordens Low Pass Butterworth Filter Derivation -Aliter
Etter at artikkelen ble publisert mottok vi en e-post fra Keith Vogel, som er pensjonist elektroingeniør. Han hadde lagt merke til en mye omtalt feil i beskrivelsen av en 2 nd orden lavpassfilter og tilbød sin forklaring for å korrigere det som er som følger.
Så la meg gjøre det også:
Og så si -6db cutoff frekvensen er beskrevet av ligningen:
f c = 1 / (
Dette er imidlertid rett og slett ikke sant! La oss få deg til å tro meg. La oss lage en krets der R1 = R2 = 160, og C1 = C2 = 100nF (0.1uF). Gitt ligningen, bør vi ha en -6db frekvens på:
f c = 1 / (
La oss fortsette og simulere kretsen og se hvor -6db-punktet er:
Åh, det simulerer til 6,33 kHz IKKE 9,947 kHz; men simuleringen er IKKE feil!
For din informasjon har jeg brukt -6.0206db i stedet for -6db fordi 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 er litt nærmere tall enn -6, og for å få en mer nøyaktig simulert frekvens til våre ligninger, ønsket jeg å bruke noe litt nærmere enn bare -6db. Hvis jeg virkelig ønsket å oppnå frekvensen skissert av ligningen, ville jeg trenger å buffer mellom 1 st og 2 nd stadier av filteret. En mer nøyaktig krets til vår ligning vil være:
Og her ser vi vårt -6.0206db-punkt simulerer til 9.945kHz, mye mye nærmere den beregnede 9.947kHz. Forhåpentligvis tror du meg at det er en feil! La oss nå snakke om hvordan feilen oppsto, og hvorfor dette bare er dårlig engineering.
De fleste beskrivelsene vil starte med en 1 st orden lavpassfilter, med impedansen som følger.
Og du får en enkel overføringsfunksjon på:
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
Så sier de at hvis du bare setter to av disse sammen for å lage et 2. ordensfilter, får du:
H (s) = H 1 (s) * H 2 (s).
Hvor H 1 (s) = H- 2 (s) = 1 / (SRC + 1)
Som når beregnet ut vil resultere i ligningen fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Her er feilen, responsen fra H 1 (e) ikke er uavhengig av H 2 (e) i kretsen, kan du ikke si H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (SRC + 1).
Impedansen til H- 2 (e) påvirker responsen av H 1 (e). Og dermed hvorfor denne kretsen fungerer, fordi opampen isolerer H 2 (s) fra H 1 (s)!
Så nå skal jeg analysere følgende krets. Tenk på den opprinnelige kretsen vår:
For enkelhets skyld skal jeg lage R1 = R2 og C1 = C2, ellers blir matematikken virkelig involvert. Men vi skal være i stand til å utlede den faktiske overføringsfunksjonen og sammenligne den med våre simuleringer for validering når vi er ferdige.
Hvis vi sier, Z 1 = 1 / sC parallelt med (R + 1 / sC), kan vi tegne om kretsen som:
Vi vet at V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1); Hvor Z 1 kan være en kompleks impedans. Og hvis vi går tilbake til vår opprinnelige krets, kan vi se Z 1 = 1 / sC parallelt med (R + 1 / sC)
Vi ser også at Vo / V 1 = 1 / (SRC + 1), som er H- 2 (e). Men H 1 (s) er mye mer kompleks, det er Z 1 / (R + Z 1) hvor Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC); og er IKKE 1 / (sRC + 1)!
Så nå kan vi slipe gjennom matematikken for kretsen vår; for det spesielle tilfellet R1 = R2 og C1 = C2.
Vi har:
V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1) Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) 2 R + 2sC) Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1)
Og endelig
Vo / V i = * = * = * = * = *
Her kan vi se at:
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3sRC + 1)…
ikke 1 / (SRC + 1) H- 2 (s) = 1 / (SRC + 1)
Og..
Vo / V i = H- 1 (s) * H 2 (s) = * = 1 / ((SRC) 2 + 3sRC + 1)
Vi vet at -6db-punktet er (
Og vi vet når størrelsen på overføringsfunksjonen vår er på 0,5, vi er på -6db-frekvensen.
Så la oss løse det:
-Vo / V in - = -1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5
La s = jꙍ, vi har:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
For å finne størrelsen, ta kvadratroten til firkanten av de virkelige og imaginære begrepene.
sqrt (((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
kvadrere begge sider:
((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
Utvider:
1-2 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2- - 3 = 0
La x = (ꙍRC) 2
(x) 2 + 7x - 3 = 0
Bruke kvadratisk ligning for å løse x
x = (-7 +/- sqrt (49 - 4 * 1 * (- 3)) / 2 = (-7 +/- sqrt (49 +12) / 2 = (-7 +/-
.. eneste virkelige svaret er +
Huske
x = (ꙍRC) 2
erstatter x
(ꙍRC) 2 = (
Erstatte ꙍ med 2
2
f c = (
Stygg, kanskje du ikke tror meg, så les videre… For den opprinnelige kretsen ga jeg deg:
f c = (
Hvis vi går tilbake til vår opprinnelige simulering for denne kretsen, så vi -6db-frekvensen på ~ 6.331kHz som stemmer nøyaktig med beregningene våre!
Simuler dette for andre verdier, du vil se ligningen er riktig.
Vi ser at når vi buffer mellom de to en st for lav pass filter kan vi bruke ligningen
f c = 1 / (
Og hvis R1 = R2 og C1 = C2, kan vi bruke ligningen:
f c = 1 /
Men hvis vi ikke buffer mellom de to en m orden filtrerer ligning (gitt R1 = R2, C1 = C2) blir:
f c = (
f c ~ 0.6365 / 2
Advarsel, ikke prøv å si:
f c = 0,6365 / (
Husk at H 2 (s) påvirker H 1 (s); men ikke omvendt, filtrene er ikke symmetriske, så ikke antag denne!
Så hvis du skal holde deg med din nåværende ligning, vil jeg anbefale en krets som er mer slik:
