Maxwell-ligninger er grunnleggende for elektromagnetisk teori, som utgjør et sett med fire ligninger som relaterer de elektriske og magnetiske feltene. I stedet for å liste opp den matematiske representasjonen av Maxwell-ligninger, vil vi fokusere på hva som er den faktiske betydningen av disse ligningene i denne artikkelen. Maxwells første og andre ligning omhandler henholdsvis statiske elektriske felt og statiske magnetfelt. Maxwells tredje og fjerde ligning omhandler skiftende henholdsvis magnetfelt og skiftende elektriske felt.
Maxwell-ligningene er:
- Gauss lov om elektrisitet
- Gauss Magnetism Law
- Faradays induksjonslov
- Ampere's Law
1. Gauss lov om elektrisitet
Denne loven sier at den elektriske strømmen ut av en lukket overflate er proporsjonal med den totale ladningen som er omsluttet av den overflaten. Gauss-loven tar for seg det statiske elektriske feltet.
La oss vurdere en positiv punktladning Q. Vi vet at de elektriske flukselinjene er rettet utover fra den positive ladningen.
La oss se på en lukket overflate med Charge Q innelukket i den. Areavektoren er alltid valgt Normal for den fordi den representerer orienteringen av overflaten. La vinkelen som er laget av den elektriske feltvektoren med areavektoren være θ.
Electric Flux ψ er
Årsaken til å velge prikkproduktet er at vi må beregne hvor mye elektrisk strøm som passerer gjennom overflaten representert av en normal areavektor.
Fra coulombs-loven vet vi at det elektriske feltet (E) på grunn av en punktladning er Q / 4πε 0 r 2.
Med tanke på en sfærisk symmetri, er den integrerte formen for Gauss-loven:
Derfor er den elektriske strømmen Ψ = Q lukket / ε 0
Her representerer Q vedlagt vektorsummen av alle ladningene inne i overflaten. Området som omgir ladningen, kan ha hvilken som helst form, men for å anvende Gauss-loven, må vi velge en Gaussisk overflate som er symmetrisk og har jevn ladningsfordeling. Den Gaussiske overflaten kan være sylindrisk eller sfærisk eller et plan.
For å utlede dens differensielle form, må vi bruke divergenssetning.
Den ovennevnte ligning er den differensialform av Gauss lov eller Maxwells ligning I.
I ovenstående ligning representerer ρ volumladetettheten. Når vi må bruke Gauss-loven på en overflate med en linjelading eller overflateladefordeling, er det mer praktisk å representere ligningen med ladetetthet.
Derfor kan vi konkludere med at divergensen til et elektrisk felt over en lukket overflate gir den ladningsmengden (ρ) som er lukket av den. Ved å bruke avvik på et vektorfelt, kan vi vite om overflaten som er lukket av vektorfeltet fungerer som en kilde eller vask.
La oss vurdere en kuboid med en positiv ladning som vist ovenfor. Når vi bruker avvik på det elektriske feltet som kommer ut av boksen (kuboid), forteller resultatet av det matematiske uttrykket oss at boksen (kuboid) betraktet fungerer som en kilde for det beregnede elektriske feltet. Hvis resultatet er negativt, forteller det oss at boksen fungerer som en vask, dvs. at boksen lukker en negativ ladning i den. Hvis avviket er null, betyr det at det ikke koster noe.
Fra dette kan vi slutte at elektriske monopol finnes.
2. Gauss Magnetism Law
Vi vet at den magnetiske fluxlinjen flyter fra nordpolen til sørpolen eksternt.
Siden det er magnetiske flukselinjer på grunn av en permanent magnet, vil det være en tilhørende magnetisk flytdensitet (B) av den. Når vi bruker divergenssats på overflaten S1, S2, S3 eller S4, ser vi at antall flukselinjer som kommer inn og ut av den valgte overflaten forblir det samme. Derfor er resultatet av divergenssatsen null. Selv i overflaten S2 og S4 er divergensen null, noe som betyr at verken nordpolen eller sørpolen hver for seg virker som en kilde eller synker som de elektriske ladningene. Selv når vi bruker avvik fra magnetfeltet (B) på grunn av en strømførende ledning, viser det seg å være null.
Den integrerte formen for Gauss magnetismelov er:
Den differensielle formen for Gauss Magnetism Law er:
Fra dette kan vi slutte at magnetiske monopol ikke eksisterer.
3. Faradays induksjonslov
Faradays lov sier at når det er en endring i magnetisk fluks (endring med hensyn til tid) som forbinder en spole eller en hvilken som helst leder, vil det være en EMF indusert i spolen. Lenz uttalte at EMF-indusert vil være i en retning slik at den motarbeider endringen i magnetisk fluks som produserer den.
I illustrasjonen ovenfor induseres sirkulasjonsstrøm i den når en ledende plate eller en leder blir påvirket av et skiftende magnetfelt. Strømmen induseres i en slik retning at magnetfeltet produsert av den motarbeider den skiftende magneten som skapte den. Fra denne illustrasjonen er det klart at skiftende eller varierende magnetfelt skaper et sirkulerende elektrisk felt.
Fra Faradays lov, emf = - dϕ / dt
Vi vet det, ϕ = lukket overflate ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Elektrisk felt E = V / d
V = ʃ E. Dl
Siden det elektriske feltet endres med hensyn til overflaten (krøll), eksisterer det en potensiell forskjell V.
Derfor er den integrerte formen for Maxwells fjerde ligning,
Ved å anvende Stokes teorem,
Årsaken til å anvende Stokes teorem er at når vi tar en krøll av et roterende felt over en lukket overflate, kansellerer de indre krøllkomponentene i vektoren hverandre, og dette resulterer i å evaluere vektorfeltet langs den lukkede banen.
Derfor kan vi skrive det,
Differensialformen for Maxwells ligning er
Fra det ovennevnte uttrykket er det klart at et magnetfelt som endres med hensyn til tid produserer et sirkulerende elektrisk felt.
Merk: I elektrostatikk er krøllen til et elektrisk felt null fordi det kommer radielt utover fra ladningen og det ikke er noen roterende komponent forbundet med det.
4. Ampere's Law
Amperes lov sier at når en elektrisk strøm strømmer gjennom en ledning, produserer den et magnetfelt rundt den. Matematisk gir linjens integral av magnetfeltet rundt en lukket sløyfe den totale strømmen som er omsluttet av den.
ʃ B .dl = μ 0 I vedlagt
Siden magnetfeltet krøller seg rundt ledningen, kan vi bruke Stokes teorem på Ampers lov.
Derfor blir ligningen
Vi kan representere strømmen innelukket i form av strømtetthet J.
B = μ 0 H ved å bruke denne relasjonen kan vi skrive uttrykket som
Når vi bruker avvik på krøllen til et roterende vektorfelt, er resultatet null. Det er fordi den lukkede overflaten ikke fungerer som en kilde eller vask, dvs. at antallet strømninger som kommer inn og ut av overflaten er det samme. Dette kan matematisk vises som,
La oss se på en krets som illustrert nedenfor.
Kretsen har en kondensator koblet til den. Når vi bruker avvik i regionen S1, viser resultatet at den ikke er null. I matematisk notasjon,
Det er en strøm i kretsen, men i kondensatoren blir ladningene overført på grunn av skiftende elektrisk felt over platene. Så fysisk strømmer ikke strømmen gjennom den. Maxwell laget denne skiftende elektriske strømmen som forskyvningsstrøm (J D). Men Maxwell skapte begrepet forskyvningsstrøm (J D) med tanke på symmetrien i Faradays lov, dvs. hvis et magnetfelt som endrer seg i tid produserer et elektrisk felt, vil det ved å skifte symmetri produsere et magnetfelt ved å endre det.
Krøllen av magnetfeltintensiteten (H) i regionen S1 er
Den integrerte formen for Maxwells fjerde ligning kan uttrykkes som:
Differensialformen for Maxwells fjerde ligning er:
Alle disse fire ligningene, enten i integralform eller differensialform satt sammen, kalles Maxwells ligning.